【小白学AI】XGBoost 推导详解与牛顿法

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目录
  • 1 作者前言
  • 2 树模型概述
  • 3 XGB vs GBDT

    • 3.1 区别1:自带正则项
    • 3.2 区别2:有二阶导数信息
    • 3.3 区别3:列抽样
  • 4 XGB为什么用二阶导

    • 4.1 为什么减少了计算量
    • 4.2 为什么加快收敛速度
  • 5 牛顿法

1 作者前言

在2020年还在整理XGB的算法,其实已经有点过时了。不过,主要是为了扩大知识面和应付面试嘛。现在的大数据竞赛,XGB基本上已经全面被LGB模型取代了,这里主要是学习一下Boost算法。之前已经在其他博文中介绍了Adaboost算法和Gradient-boost算法,这篇文章讲解一下XGBoost。

2 树模型概述

XGB就是Extreme Gradient Boosting极限梯度提升模型。XGB简单的说是一组分类和回归树(CART)的组合。跟GBDT和Adaboost都有异曲同工之处。
【CART=classification adn regression trees】

这里对于一个决策树,如何分裂,如何选择最优的分割点,其实就是一个搜索的过程。搜索怎么分裂,才能让目标函数最小。目标函数如下:
(Obj = Loss + Omega)
(Obj)就是我们要最小化的优化函数,(Loss)就是这个CART模型的预测结果和真实值得损失。(Omega)就是这个CART模型的复杂度,类似神经网络中的正则项。
【上面的公式就是一个抽象的概念。我们要知道的是:CART树模型即要求预测尽可能准确,又要求树模型不能过于复杂。】

对于回归问题,我们可以用均方差来作为Loss:
(Loss=sum_i{(y_i-hat{y_i})^2})

对于分类问题,用交叉熵是非常常见的,这里用二值交叉熵作为例子:
(Loss = sum_i{(y_ilog(hat{y_i})+(1-y_i)log(hat{y_i}))})

总之,这个Loss就是衡量模型预测准确度的损失。


下面看一下如何计算这个模型复杂度(Omega)吧。
(Omega = gamma T+frac{1}{2} lambda sum^T_j{w_j}^2)

(T)表示叶子节点的数量,(w_j)表示每个叶子节点上的权重(与叶子节点的样本数量成正比)。

【这里有点麻烦的在于,(w_j)是与每个叶子节点的样本数量成正比,但是并非是样本数量。这个(w_j)的求取,要依靠与对整个目标函数求导数,然后找到每个叶子节点的权重值(w_j)。】

3 XGB vs GBDT

其实说了这么多,感觉XGB和GDBT好像区别不大啊?那是因为说了这么多还没开始说XGB呢!之前都是讲树模型的通用概念的。下面讲解XGB~整理一下网上有的说法,再加上自己的理解。有错误请指出评论,谢谢!

3.1 区别1:自带正则项

GDBT中,只是让新的弱分类器来拟合负梯度,那拟合多少棵树才算好呢?不知道。XGB的优化函数中,有一个(Omega)复杂度。这个复杂度不是某一课CART的复杂度,而是XGB中所有CART的总复杂度。可想而知,每多一颗CART,这个复杂度就会增加他的惩罚力度,当损失下降小于复杂度上升的时候,XGB就停止了。

3.2 区别2:有二阶导数信息

GBDT中新的CART拟合的是负梯度,也就是一阶导数。而在XGB会考虑二阶导数的信息。

这里简单推导一下XGB如何用上二阶导数的信息的:

  1. 之前我们得到了XGB的优化函数:
    (Obj = Loss + Omega)

  2. 然后我们把Loss和Omega写的更具体一点:
    (Obj = sum_i^n{Loss(y_i,hat{y}_i^t)}+sum_j^t{Omega(cart_j)})

    • (hat{y_i^t})表示总共有t个CART弱分类器,然后t个弱分类器给出样本i的估计值就。
    • (y_i)第i个样本的真实值;
    • (Omega(cart_j))第j个CART模型的复杂度。
  3. 我们现在要求取第t个CART模型的优化函数,所以目前我们只是知道前面t-1的模型。所以我们得到:
    (hat{y}_i^t = hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))
    t个CART模型的预测,等于前面t-1个CART模型的预测加上第t个模型的预测。

  4. 所以可以得到:
    (sum_i^n{Loss(y_i,hat{y}_i^t)}=sum_i^n{Loss(y_i,hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))})
    这里考虑一下特勒展开:
    (f(x+Delta x)approx f(x)+f'(x)Delta x + frac{1}{2} f”(x)Delta x^2)

  5. 如何把泰勒公式带入呢?
    ({Loss(y_i,hat{y}_i^t)})中的(y_i)其实就是常数,不是变量
    所以其实这个是可以看成(Loss(hat{y}_i^t)),也就是:
    (Loss(hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i)))

  6. 带入泰勒公式,把(f_t(x_i))看成(Delta x)
    (Loss(hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))=Loss(hat{y}_i^{t-1})+Loss'(hat{y}_i^{t-1})f_t(x_i)+frac{1}{2}Loss”(hat{y}_i^{t-1})(f_t(x_i))^2)

    • 在很多的文章中,会用(g_i=Loss'(hat{y}_i^{t-1})),以及(h_i=Loss”(hat{y}_i^{t-1}))来表示函数的一阶导数和二阶导数。
  7. 把泰勒展开的东西带回到最开始的优化函数中,删除掉常数项(Loss(hat{y}_i^{t-1}))(这个与第t个CART模型无关呀)以及前面t-1个模型的复杂度,可以得到第t个CART的优化函数:
    (Obj^t approx sum_i^n{[g_i f_t(x_i)+frac{1}{2}h_i(f_t(x_i))^2}]+{Omega(cart_t)})

【所以XGB用到了二阶导数的信息,而GBDT只用了一阶的梯度】

3.3 区别3:列抽样

XGB借鉴了随机森林的做法,不仅仅支持样本抽样,还支持特征抽样(列抽样),不仅可以降低过拟合,还可以减少计算。(但是这一点我个人存疑,感觉这个只是代码给出的功能,并不算是XGB本身算法相对GBDT的优势。因为XGB和GBDT明明都可以用列抽样的方法。总之,最关键的区别是二阶导数那个和引入正则项

4 XGB为什么用二阶导

这个是一个关于XGB的面试进阶题。第一次看到这个问题的时候,一脸懵逼。

【先说自己总结的答案】

  1. 使用了二阶导数的信息,加快了收敛速度。
  2. 减少了计算量。

4.1 为什么减少了计算量

这个比较理解,就先从这个开始解释。
在GBDT中,最花费时间的就是计算分裂点,选择哪个特征,在哪个分割点进行分裂可以得到最小的loss。假设有5个特征,每个特征有100个潜在分割点,那么分类一次需要计算500次。

(loss(y,hat{y}^t))像之前一样,写成之前所有已经训练完成的弱分类器和正在训练的分类器(loss(y,hat{y}^{t-1}+f_t(x)))
如果计算这个损失的话,我们需要计算500次的
(loss(y,hat{y}^{t-1}+f_t(x)))
但是假设使用泰勒展开得到:
(loss(hat{y}^{t-1})+g*f_t(x)+frac{1}{2}h(f_t(x))^2)
其中的(loss(hat{y}^{t-1})),(g),(h)都是仅仅与之前已经训练完成的决策树相关,所以就是常数,所以是可以在500次的计算中共享,计算一次足以。

4.2 为什么加快收敛速度

这里要回到泰勒展开那里:
(f(x+Delta x) = f(x) + g(x) * Delta x + frac{1}{2} h(x) (Delta x)^2)
这个式子其实就可以看成是(F(Delta x)),因为(x)可以看成一个常数。我们希望(F(Delta x))最小(也就是损失最小),所以我们对(Delta x)求导数:
(F'(Delta x)=g(x)+h(x)Delta x=0)
导数为0,则是极小值(默认是凸函数)
(Delta x=-frac{g(x)}{h(x)}),也就是说,更新的步长其实就是一阶导数除以二阶导数

了解最优化算法的朋友应该可以意识到,这个其实是跟牛顿法等价的。XGB每一次训练一个新的基模型,其实就是再使用牛顿法来对损失函数进行最小值的优化与更新。

【小总结】
因此我个人认为,使用了二阶信息的XGB比使用了一阶信息的GBDT收敛速度快的原因,可以用牛顿法比梯度下降法收敛快来解释。

【为什么牛顿法收敛速度快】
其实这一块我有些解释不清楚了,因为我最优化算法学的也不精(好像突然发现找不到工作的原因了2333)。能给出的是一个比较通俗的解释: 从本质上去看,牛顿法是二阶收敛,梯度下降是一阶收敛,所以牛顿法就更快。如果更通俗地说的话,比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部,梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步,牛顿法在选择方向时,不仅会考虑坡度是否够大,还会考虑你走了一步之后,坡度是否会变得更大。

5 牛顿法

这里简单介绍一下牛顿法是什么。毕竟有的朋友可能没学过,或者学过像我一样忘记了。

【牛顿法的目的】
求解一个函数的根,也就是这个函数与x坐标轴的交点。

【小白学AI】XGBoost 推导详解与牛顿法插图
这里有一个三次曲线,我们初始点在A位置,然后做A位置的切线,可以发现这个切线相交于x轴。
【小白学AI】XGBoost 推导详解与牛顿法插图(1)
然后这个焦点做一个平行于y轴的线,交于B点,然后B点做切线,然后交于x轴,然后……

【小白学AI】XGBoost 推导详解与牛顿法插图(2)
然后迭代到C点

【小白学AI】XGBoost 推导详解与牛顿法插图(3)
慢慢的,就逼近三次函数与x轴的交点,也就是三次函数等于0的根了。


【小白学AI】XGBoost 推导详解与牛顿法插图(4)
【数学算式】
(x_n)点的切线方程:
(f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)=0)
所以很简单得到:
(x_{n+1}=x_n-frac{f(x_n)}{f'(x_n)})
【为什么这里只用到了一阶信息?】
因为这里的目的是求取一个函数的根,也就是函数等于0的根。我们在最优化问题中,求解的是一个函数的极小值,这就要求求取这个函数的导数等于0的根,所以在最优化问题中,是一个二阶导数优化方法。

写了4000字,太累了。欢迎大家加好友交流。

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